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Análisis Matemático 66

2025 GUTIERREZ (ÚNICA)

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 7: Estudio de Funciones

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3. Encuentre los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de las siguientes funciones
i) f(x)=e2x4−4x2f(x)=e^{2 x^{4}-4 x^{2}}

Respuesta

Para encontrar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f(x)f(x) vamos a seguir los pasos que vimos en clase.

1) Identificamos el dominio de f(x)f(x)

El dominio de ff es R\mathbb{R}

2) Derivamos f(x)f(x)

f′(x)= e2x4−4x2⋅(8x3−8x) f'(x) = e^{2 x^{4}-4 x^{2}} \cdot (8x^3 - 8x)

3) Igualamos f′(x) f'(x) a cero

 e2x4−4x2⋅(8x3−8x)=0 e^{2 x^{4}-4 x^{2}} \cdot (8x^3 - 8x)= 0 

La exponencial nunca es cero, así que los puntos críticos van a salir de plantear

8x3−8x=08x^3 - 8x = 0

Esto ya lo resolvimos en el item anterior 🤲 Los puntos críticos de ff son x=0 x = 0 , x=1 x = 1 , y x=−1 x = -1

4) Dividimos la recta real en intervalos donde sabemos que f′(x)f'(x) es continua y no tiene raíces:

- (−∞,−1) (-\infty, -1) - (−1,0) (-1, 0) - (0,1) (0, 1) - (1,+∞) (1, +\infty)

5) Evaluamos el signo de f′(x) f'(x)  

En  (−∞,−1) ⇒f′(x)<0→ (-\infty, -1) \Rightarrow f'(x) < 0 \rightarrow Por lo tanto f f es decreciente

En  (−1,0) ⇒f′(x)>0→ (-1, 0) \Rightarrow f'(x) > 0 \rightarrow Por lo tanto f f es creciente

En  (0,1) ⇒f′(x)<0→ (0, 1) \Rightarrow f'(x) < 0 \rightarrow Por lo tanto f f es decreciente

En  (1,+∞) ⇒f′(x)>0→ (1, +\infty) \Rightarrow f'(x) > 0 \rightarrow Por lo tanto f f es creciente

Recapitulando entonces,

Intervalo de crecimiento:  (−1,0)  ∪ (1,+∞) (-1, 0)  \cup (1, +\infty)

Intervalo de decrecimiento:  (−∞,−1)∪ (0,1) (-\infty, -1) \cup (0, 1)
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